Diketahui 3 matriks sebagai berikut:
\begin{aligned} A = \begin{bmatrix} a & 2 \\ 1 & b \end{bmatrix}, \ B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & b+1 \end{bmatrix}, \ \text{dan} \ C = \begin{bmatrix} -2 & b \\ -a & b^2 \end{bmatrix} \end{aligned}
Jika \( A \times B^t – C = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} \) dengan \(B^t\) adalah transpose matriks \(B\), maka nilai \(a\) dan \(b\) masing-masing adalah..
- -1 dan 2
- 1 dan -2
- -1 dan -2
- 2 dan -1
- -2 dan 1
(UN 2009)
Pembahasan:
\begin{aligned} A \times B^t - C &= \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} \\[8pt] \begin{bmatrix} a & 2 \\ 1 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & b+1 \end{bmatrix}^t - \begin{bmatrix} -2 & b \\ -a & b^2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} \\[8pt] \begin{bmatrix} a & 2 \\ 1 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & b+1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 & b \\ -a & b^2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} \\[8pt] \begin{bmatrix} 4a+2 & 2a+2b+2 \\ b+4 & b^2+b+2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 & b \\ -a & b^2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} \\[8pt] \begin{bmatrix} 4a+4 & 2a+b+2 \\ a+b+4 & b+2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned}
Dari persamaan matriks di atas diperoleh hubungan berikut:
\begin{aligned} 4a+4 = 0 \Leftrightarrow 4a &= -4 \\[8pt] a &= -1 \\[8pt] b+2 = 4 \Leftrightarrow b &= 4-2 \\[8pt] &= 2 \end{aligned}
Jadi, nilai \(a\) dan \(b\) masing-masing adalah -1 dan 2.
Jawaban A.